ネットワークスペシャリスト平成23年秋期 午前T 問3

午前T 問3

自然数をキーとするデータを,ハッシュ表を用いて管理する。キーxのハッシュ関数h(x)を
 h(x) = x mod n
とすると,キーaとbが衝突する条件はどれか。ここで,nはハッシュ表の大きさであり,x mod nはxをnで割った余りを表す。
  • a+bがnの倍数
  • a−bがnの倍数
  • nがa+bの倍数
  • nがa−bの倍数
  • [この問題の出題歴]
  • 応用情報技術者
    平成23年秋期 問5と同題

分類

テクノロジ系 » アルゴリズムとプログラミング » アルゴリズム

正解

解説

aをnで割ったときの商をk、bをnで割ったときの商をl、余りがどちらもxとなる場合を式で表すと、

 a=kn+x
 b=ln+x

となります。これをxについて解くと、

 x=a−kn
 x=b−ln

と変換できます。余りであるxが等しくなるとき a−kn と b−ln は等しいので、方程式で関係を導きます。

 a−kn=b−ln
 a−b=kn−ln
 a−b=n(k−l)

ここで、aとb及びnが自然数であることから商であるkとlも自然数となります。よって n(k−l) はnの倍数です。

 ∴余りxが同じとき、a−bはnの倍数
 
以上より、キーの衝突には「a−bがnの倍数」という条件があるとわかります。したがって「イ」が正解です。

ここまでが論理的に解を導く方法ですが、計算結果が同じになるa・b・nを用意して選択肢の記述の正誤を判断することもできます。例えば、a=51、b=27、n=12(どちらも余りが3)で試してみると、
  • a+b=78なので、12の倍数ではありません(×)。
  • a−b=24なので、12の倍数になっています(〇)。
  • a+b=78なので、12は78の倍数ではありません(×)。
  • a−b=24なので、12は24の倍数ではありません(×)。
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